Revista de Matemática da UFOP

Propriedades Estatísticas de um Processo Multiplicativo em um Espaço Amostral Discreto

Amanda Alves de Oliveira — 2024-02-27

O objetivo desse trabalho é apresentar alguns resultados necessários para a compreensão do comportamento assintótico dos processos multiplicativos aleatórios. Estes processos têm sido relativamente pouco estudados, devido a não existir teoremas de limite regendo sua distribuição, em comparação com os processos aditivos que estão sujeitos, dentro de certas condições, ao Teorema Central do Limite. Vamos focar o estudo nos processos multiplicativos binomiais e, mais geralmente, nos processos multiplicativos multinomiais. Uma proposta de atividade para ser realizada em sala de aula será discutida. Essa atividade visa levar os alunos a perceberem o comportamento extremo que os processos multiplicativos podem ter.

A Álgebra dos números ternários

Amanda Ottoni — 2024-02-27

Este trabalho é baseado na dissertação de mestrado de Nathália Cássia Leal de Deus, defendida pelo Mestrado Profissional em Rede Nacional no Campus Alto Paraopeba da UFSJ, PROFMAT/CAP, em setembro de 2023 \cite{tccnathalia}. O presente artigo tem como objetivo apresentar a álgebra dos números ternários, um conjunto numérico tridimensional análogo ao conjunto dos números complexos. Primeiramente são relembradas algumas estruturas algébricas elementares como grupos, subgrupos, anéis, ideais e corpos. A seguir, apresenta-se os números complexos com suas propriedades básicas, e verifica-se a estrutura algébrica dos mesmos. Após um breve estudo sobre os números complexos, são apresentados os números ternários, onde é utilizada a analogia com o conjunto dos números complexos para facilitar a leitura e apresentação do tema. Para um maior aprofundamento do estudo do conjunto dos números ternários, é estudada a estrutura algébrica desse conjunto, a função módulo cúbico e a propriedade de composição desse módulo, a forma normal e uma representação matricial dos ternários, e são analisadas algumas propriedades de um curioso polinômio de terceira ordem intimamente relacionado à este conjunto. O último capítulo trata de uma atividade aplicada e outra atividade proposta para a utilização de temas de álgebra abstrata para alunos de Ensino Médio. Finalmente, uma conclusão e algumas perspectivas futuras sobre o trabalho são apresentadas.

Precificação de opções europeias via simulações de Monte Carlo no Octave

Felpe Batista de Lima Araújo — 2024-02-27

Um contrato derivativo, ou simplesmente derivativo, é um ativo financeiro cujo valor depende do valor de ativos mais concretos: ações, ouro, petróleo, títulos, moedas, etc. Opções são um dos tipos de derivativos mais negociados no mercado financeiro. Quem compra uma opção do tipo europeia tem o direito de comprar ou vender um certo ativo financeiro na data de vencimento do contrato por um preço fixado anteriormente. Uma vez que o valor de um ativo no futuro não é determinístico, a precificação racional dos derivativos é feita com auxílio de modelos matemáticos. O presente trabalho apresenta um modo para a precificação de opções europeias utilizando simulações de Monte Carlo no software livre Octave. A abordagem está apoiada na aplicação da fórmula de Cox Ross Rubinstein, uma equação oriunda do modelo matemático conhecido como Modelo Binomial para precificação desses derivativos em tempo discreto.

Cálculo de áreas: cinco problemas resolvidos das listas de Olimpíadas Internacionais de Matemática

Juan López Linares — 2024-02-27

Cinco problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática são discutidos em detalhe. Uma introdução dos conteúdos relativos ao cálculo de áreas é apresentada. As demonstrações envolvidas nas soluções são complementadas pela disponibilização dos respectivos links das figuras interativas, utilizando o GeoGebra. É esperado que o artigo possa ser apreciado tanto por estudantes que preparam-se para as fases finais de competições nacionais ou internacionais, quanto por professores que atuam no ensino e interessem-se em problemas mais desafiadores.

Soma iterada de algarismos de um número concatenado

Eudes Antonio Costa — 2024-03-04

Neste artigo apresentamos um estudo acerca da soma iterara de algarismos de um número concatenado. A soma iterada de algarismos de um número inteiro não negativo $n$ consiste em iteradas vezes adicionar os algarismos do número $n$ até que o resultado seja $0 \leq r < 9$, do qual alcançamos a soma iterada de $n$ e a denotamos por $S^*(n)=r$. Alinhados a esse processo iterativo da aplicação $S^*$ estendemos a iteração à concatenação de um número $n$ e procuramos determinar o padrão de repetição em $S^*(n_{[k]})$, ou seja, dado um número $n$ qualquer, fazemos uma $k$-concatenação e obtermos $n_{[k]}=nn \hdots nn$, então, aplicamos $S^*$ ao número concatenado, isto é, determinamos o resultado $S^*(n_{[k]})$ para cada $k\geq 1$. Entusiasmado por alguns trabalhos, em relação ao assunto foi possível, neste trabalho, desenvolver novas propriedades em relação ao tema soma de algarismos. Acreditamos que este possa complementar trabalhos já existentes na literatura sobre o assunto, bem como motivar o surgimento de novos. O trabalho também visa contribuir como material de consulta para docentes com atividades não rotineiras em sala de aula.

Roger Cotes e sua versão da Fórmula de Euler

Kelly Roberta Mazzutti Lubeck — 2024-03-14

Os números complexos representam uma extensão numérica do conjunto dos números reais que atribuem novas particularidades a esse agrupamento tornando-o, em vários cenários, mais simples e vantajoso. Entretanto, o seu reconhecimento e aceitação como sistema numérico enfrentou resistência e a estruturação de suas propriedades e a escolha das melhores definições para as extensões de funções reais, como a extração de raízes n-ésimas, a exponencial, a logarítmica e as funções trigonométricas, somente se consolidou após o trabalho de diversos matemáticos. Nesse artigo, pautados em considerações de cunho histórico, apresentaremos caminhos que conduziram a Fórmula de Euler, bem como discutiremos o trabalho realizado por Roger Cotes (1682–1716) sobre a área da superfície de um elipsóide, estudo que conduziu o matemático inglês a uma versão logarítmica da famosa Fórmula de Euler, antecipando em mais de 30 anos essa relação, mas cujo trabalho frequentemente não é mencionado em livros didáticos. Ademais, exibiremos exemplos numéricos que elucidam as asserções propostas por Cotes. Assim, por meio da apresentação e discussão de elementos históricos que conduziram o desenrolar da teoria dos números complexos, esperamos despertar o interesse de acadêmicos e professores de matemática para essa área do conhecimento.

Existência e unicidade para a equação de Laplace no disco

Fernanda Aparecida de Jesus Silva — 2024-03-22

Neste trabalho estudamos a equação de Laplace no disco. Usando a teoria de equações diferenciais e técnicas para determinar a função de Green no disco, encontramos uma solução. Mostramos que esta solução é única via princípio do máximo.

Entropia, Pressão e Ergocidade Topológica: Uma análise matemática destinada aos sistemas dinâmicos complexos

Romulo Damasclin Chaves Dos Santos — 2024-04-20

Este trabalho apresenta uma exploração da teoria dos sistemas dinâmicos, centrada na análise da entropia tanto em sua forma clássica quanto em sua versão topológica. Inicialmente, são introduzidos os conceitos fundamentais da teoria dos sistemas dinâmicos, com ênfase em sistemas dinâmicos topológicos (SDT). Em seguida, são abordadas as definições de entropia topológica discreta e sua relação com sistemas dinâmicos, seguidas pela introdução da pressão de entropia topológica como uma versão ponderada da entropia topológica. Posteriormente, são exploradas algumas aplicações da entropia topológica em sistemas dinâmicos, destacando seu papel na análise de sistemas caóticos e na teoria ergódica. Além disso, uma nova teoria, denominada Teoria da Entropia Ergódica Topológica (TEETO), é apresentada, fornecendo uma abordagem inovadora para a análise de sistemas dinâmicos ergódicos. Por fim, a Teoria Ergódica do Escoamento Turbulento (TEETU) é introduzida, explorando a relação entre a entropia topológica e as propriedades ergódicas de sistemas dinâmicos governados pelas equações de Navier-Stokes. Os resultados apresentados contribuem para uma compreensão mais profunda da complexidade dos sistemas dinâmicos e suas aplicações em diversas áreas da matemática e da física. A investigação da entropia topológica e suas aplicações em sistemas dinâmicos oferecendo novas percepções sobre o comportamento caótico e estocástico desses sistemas, enquanto a introdução de novas teorias, como a TEETU, que abre uma nova perspectiva para a análise e modelagem dos chamados fenômenos turbulentos.

Uma nota da abordagem combinatória dos números de Mulatu

Renata Passos Machado Vieira — 2024-04-22

A pesquisa atualmente em andamento explora métodos e abordagens relacionados a sequências lineares e recorrentes, partindo do estudo combinatório da famosa sequência de Fibonacci. É importante ressaltar que a sequência de Fibonacci possui conexões com outras sequências, sendo a sequência de Mulatu uma das mais relevantes para este trabalho em particular. Nesse contexto, o objetivo principal desta pesquisa é introduzir e investigar a interpretação combinatória da sequência de Mulatu, o que permitirá a definição do modelo combinatório de Mulatu, considerando especialmente a noção de braceletes.

On the Repunit sequence at negative indices

Eudes Antonio Costa — 2024-04-24

In this work we will present an extension of the repunit sequence related to repunit numbers with a negative subscripts. Our main objective is to establish properties of this new sequence, as well as the Binet formula, the generating functions and the classical identities. The identities of Catalan, Cassini and d’Ocagne related to a sequence of numbers are important because they describe an elegant relationship between the elements of the sequence.