Provas bijetivas e funções geradoras no estudo de partições de inteiros

  • Victor Nascimento Martins Universidade Federal do Espírito Santo
  • Igor Vallis Christ Universidade Federal do Espírito Santo
Palavras-chave: Partições de inteiros, Provas bijetivas, Funções geradoras, Identidades em partições

Resumo

Encontrar maneiras de se escrever um número inteiro positivo como soma de inteiros positivos pode parecer trivial e nada motivador. Porém, quando olhamos um pouco para a história da matemática e nos deparamos com nomes como os dos matemáticos Euler, Hardy e Ramanujan tendo dedicado vários anos pesquisando o assunto, nos leva a reavaliar nossa primeira impressão sobre o tema. Estamos falando da teoria das partições de inteiros, subtópico da teoria aditiva dos números. A busca por fórmulas para contar o número de partições de um inteiro foi, sem dúvida, o que mais movimentou a teoria. Entretanto, as identidades em partições geram problemas motivadores e que desafiam o mundo matemático. As técnicas de demonstrações mais utilizadas na teoria: provas bijetivas e uso de funções geradoras, tornam seu estudo ainda mais elegante e intrigante. Nosso objetivo é introduzir a teoria, dando ênfase nessas duas técnicas. Além disso, apresentaremos alguns dos principais resultados da teoria como os teoremas de Euler e dos números pentagonais. Iremos mostrar que o número de partições de um dado inteiro é limitado por um número de Fibonacci.

Referências

[1] Eduardo H.M. Brietzke, José Plínio de Oliveira Santos, and Robson da Silva. Bijective proofs using two-line matrix representations for partitions.The Ramanujan Journal, 23:265–295, 2010.

[2] Jan Hendrick Bruinier and Ken Ono. Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak maass forms.Advances in Mathematics, 246:198–219, 2013.

[3] José Plínio de Oliveira Santos. Introdução à Teoria dos Números. 3. edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, RJ, 2018.

[4] José Plínio de Oliveira Santos and Robson da Silva. Aspectos Combinatórios da Teoria Aditiva dos Números. 1. Colóquio de Matemática da Região Sul, UFSM, Santa Maria, RS, 2010.

[5] José Plínio de Oliveira Santos and Marília Luiza Matte. A new approach to integer partitions.Bull Braz Math Soc, New Series, 49:811–847, 2018.

[6] José Plínio de Oliveira Santos, Paulo Mondek, and Andréia C. Ribeiro. New two-line arrays representing partitions.Annals of Combinatorics, 15:341–354, 2011.

[7] Nicolau Saldanha, Carlos Gustavo Moreira, Eduardo Tengan, and Fabio Brochero Martinez. Teoria dos Números: um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro. 5. edição, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, RJ, 2018.

[8] Adriana Wagner. Novos Resultados na Teoria de Partições obtidos por meio da Representação Matricial. PhD thesis, IMECC - UNICAMP, Campinas, SP, 2016.
Publicado
2020-11-05
Edição
Seção
Iniciação Científica