O Teorema de Hall e o Gap Lemma de Newhouse
Resumo
Neste trabalho, apresentaremos um teorema provado inicialmente por Marshall Hall [1947], que permite-nos conectar certos problemas típicos de Teoria dos Números a problemas típicos de Sistemas Dinâmicos.
O Teorema de Hall nos diz que todo número real pode ser escrito como soma de um número inteiro mais dois números cuja expansão em frações contínuas não contém dígitos maiores que 4.
Aqui, daremos uma prova desse teorema utilizando o Gap Lemma de Newhouse, que apareceu pela primeira vez em um trabalho de S. Newhouse no contexto de dinâmica hiperbólica, e nos dá condições suficientes para que a interseção de dois conjuntos de Cantor seja não vazia. Relacionaremos esse resultado com a soma de conjuntos de Cantor.
Por fim, usaremos o Teorema de Hall para mostra que o Espectro de Lagrange contém o intervalo [6,+∞).
Referências
-Thomas W. Cusick, Mary E. Flahive. The Markoff And Lagrange Spectra. American Mathematical Society, 1989.
-Marshall Hall Jr. On the sum and product of continued fractions. Annals of Mathematics, 48(4):966–993, 1947
-Carlos G. Moreira. Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética. 22º Colóquio Brasileiro de Matemática, 1999.
-Davi Lima, Carlos G. Moreira. Dynamical characterization of initial segments of the markov and lagrange spectra. Monatsh Math 199, (817–852):2022, https://doi.org/10.1007/s00605-022-01765-3.
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