Análise dos significados do conceito de diferencial de uma perspectiva ontosemiótica
Resumo
Esta pesquisa aborda o estudo dos diversos significados do conceito de diferencial aplicando ferramentas teóricas do Enfoque Ontosemiótico, em particular as noções de significado pragmático de um conceito e configuração de práticas, objetos e processos. O objetivo é construir um modelo ontosemiótico de referência; para isso, em primeiro lugar, é realizado um estudo histórico-epistemológico sobre a origem e evolução do diferencial, identificando quatro significados parciais fundamentais correspondentes às contribuições de Leibniz, Cauchy, Fréchet e Robinson. Em segundo lugar, a caracterização ontosemiótica desses significados é apresentada a partir da análise da solução do problema de traçar a tangente a uma curva. Os resultados refletem implicações claras, tanto para o ensino e a aprendizagem nas várias carreiras universitárias, como para a formação de professores de matemática.
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Referências
ARTIGUE, Michèle. Le passage de la différentielle totale à la notion d'application linéaire tangente. In: Procedures différentielles dans les enseignements de mathematiques et de physique au niveau du premier cycle universitaire (Annexe I). Université Paris 7: IREM et LDPES, 1989.
ARTIGUE, Michèle. La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos. In: GOMEZ, Pedro (Ed.). Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Un esquema para la investigación y la innovación y el aprendizaje de las matemáticas. Una empresa docente y Grupo editorial Iberoamérica, p. 97-140, 1995.
ARTIGUE, Michèle; MENIGOUX, Jacqueline; VIENNOT, Laurence. Some aspects of students' conceptions and difficulties about differentials. European Journal of Physics, v. 11, n. 5, p. 262-267, 1990. DOI: 10.1088/0143-0807/11/5/002.
BOYER, Carl. B. The history of the calculus and its conceptual development. New York, USA: Dover, 1987.
BOS, Hendrik Jan Maarten. Differentials, higher-order differentials and derivatives in the Leibnizian calculus. Archive for history of exact sciences, v. 14, n. 1, p. 1-90, 1974.
BURGOS, María; BUENO, Seydel; PÉREZ, Olga; GODINO, Juan D. Onto-semiotic complexity of the Definite Integral. Journal of Research in Mathematics Education, v. 10, n. 1, p. 4–40, 2021. DOI: 10.17583/redimat.2021.6778
BURGOS, María; GODINO, Juan D. Modelo ontosemiótico de referencia de la proporcionalidad. Implicaciones para la planificación curricular en primaria y secundaria. AIEM Avances de Investigación en Educación Matemática, n. 18, p. 1-20, 2020. DOI: 10.35763/aiem.v0i18.255.
CAUCHY, Augustin Louis. Cours d'analyse de l'Ecole Royale Polytechnique. París: de l'Imprimerie Royale, ETH Library Zurich, 1821. DOI: 10.3931/e-rara-26185.
CAUCHY, Augustin Louis. Résumé des leçons données à l'Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal. París: de l'Imprimerie Royale, ETH Library Zurich, 1823. DOI: 10.3931/e-rara-25962.
DRAY, Tevian; MANOGUE, Corinne A. Putting Differentials Back into Calculus. The College Mathematics Journal, v. 41, n. 2, p. 90-100, 2010. DOI: 10.4169/074683410X480195.
EDWARDS, Charles Henry. The historical development of the calculus. New York, USA: Springer-Verlag, 1979. DOI: 10.1007/978-1-4612-6230-5.
FONT, Vicenç; PINO-FAN, Luis R.; BREDA, Adriana. Una evolución de la mirada sobre la complejidad de los objetos matemáticos. Revista Paradigma, v. 41, p. 107-129, 2020. DOI: 10.37618/PARADIGMA.1011-2251.2020.p107-129.id846.
FONT, Vicenç; GODINO, Juan D.; GALLARDO, Jesús. The emergence of objects from mathematical practices. Educational Studies in Mathematics, n. 82, p. 97-124, 2013. DOI: 10.1007/s10649-012-9411-0.
GODINO, Juan D. Construyendo un sistema modular e inclusivo de herramientas teóricas para la educación matemática. In: CONTRERAS, José Miguel; ARTEAGA, Pedro; CAÑADAS, Gustavo R.; GEA, María Magdalena; GIACOMONE, Belén; LÓPEZ-MARTÍN, María del Mar (Eds.), Actas del Segundo Congreso International Virtual sobre el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos, 2017. Disponible en http://enfoqueontosemiotico.ugr.es/civeos.html
GODINO, Juan D.; BATANERO, Carmen. Significado institucional y personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactique des Mathématiques, v. 14, n. 3, p. 325-355, 1994.
GODINO, Juan D.; BATANERO, Carmen; FONT, Vicenç. The onto-semiotic approach to research in mathematics education. ZDM Mathematics Education, n. 39, p. 127-135, 2007. DOI: 10.1007/s11858-006-0004-1.
GODINO, Juan D.; BATANERO, Carmen; FONT, Vicenç. El enfoque ontosemiótico: implicaciones sobre el carácter prescriptivo de la didáctica. Revista Chilena de Educación Matemática, v. 12, n. 2, p. 3-15, 2020. DOI: 10.46219/rechiem.v12i2.25.
GODINO, Juan D. et al. Why is the learning of elementary arithmetic concepts difficult? Semiotic tools for understanding the nature of mathematical objects. Educational Studies in Mathematics, v. 77, n. 2, p. 247–265, 2011. DOI: 10.1007/s10649-010-9278-x.
GODINO, Juan D. et al. Enfoque Ontosemiótico de los Conocimientos y Competencias del Profesor de Matemáticas. Bolema: Boletim de Educação Matemática, v. 31, n. 57, p. 90-113, 2017. DOI: 10.1590/1980-4415v31n57a05.
GOMEZ, Alfonso. A look to differential. Journal of Physics: Conference Series. V International Conference Days of Applied Mathematics, v. 1414, n. 1, p. 1-7, 2019. DOI: 10.1088/1742-6596/1414/1/012001.
GORDILLO, W.; PINO-FAN, L. R. Una Propuesta de Reconstrucción del Significado Holístico de la Antiderivada. Bolema: Boletim de Educação Matemática, v. 30, n. 55, p. 535–558, 2016. DOI: 10.1590/1980-4415v30n55a12.
HU, Dehui; REBELLO, N. Sanjay. Understanding student use of differentials in physics integration problems. Physical Review Special Topics - Physics Education Research, v. 9, n. 2, p. 1-14, 2013. DOI: 10.1103/PhysRevSTPER.9.020108.
KEISLER, H. Jerome. Elementary calculus. An infinitesimal approach. California, USA: University of Wisconsin, 2000.
KLEINER, Israel. History of the infinitely small and the infinitely large in calculus, with remarks for the teacher. In Excursions in the History of Mathematics. Birkhäuser Boston, p. 67-101, 2012. DOI: 10.1007/978-0-8176-8268-2_4.
KLEINER, Israel. History of the Infinitely Small and the Infinitely Large in Calculus. Educational Studies in Mathematics, n. 48, p. 137-174, 2001. DOI: 10.1023/A1016090528065.
LOBO, Rogério Santos. Utilizando a Derivada para inferir sobre a velocidade de contaminação do novo Coronavírus: uma possibilidade para as aulas de Cálculo. Revemop, v. 2, e202021, p. 1-18, 2020. DOI: 10.33532/revemop.e202021
LÓPEZ-GAY, Rafael Lucio-Villegas. La introducción y utilización del concepto de diferencial en la enseñanza de la física. Análisis de la situación actual y propuesta para su mejora. 2001. (Tesis doctoral). Universidad Autónoma de Madrid, España.
LÓPEZ-GAY, Rafael; MARTÍNEZ SÁEZ, Julio; MARTÍNEZ TORREGROSA, Joaquín. Obstacles to mathematization in physics: The case of the differential. Science & Education, n. 24, p. 591-613, 2015. DOI: 10.1007/s11191-015-9757-7.
MARTÍNEZ-TORREGROSA, Joaquín; LÓPEZ-GAY, Rafael; GRAS-MARTÍ, A. Mathematics in physics education: scanning historical evolution of the differential to find a more appropriate model for teaching differential calculus in physics. Science & Education, v. 15, n. 5, p. 447-462, 2006. DOI: 10.1007/s11191-005-0258-y.
MARTÍNEZ-TORREGROSA, Joaquín; LÓPEZ-GAY, Rafael; GRAS-MARTÍ, Albert; TORREGROSA-GIRONÉS, Germán. La diferencial no es un incremento infinitesimal. Evolución del concepto de diferencial y su clarificación en la enseñanza de la física. Enseñanza de las Ciencias, v. 20, n. 2, p. 271-283, 2002.
OLDENBURG, Reinhard. Differentiale als Prognosen. Journal für Mathematik-Didaktik, n. 37, p. 55-82, 2016. DOI: 10.1007/s13138-016-0096-2.
ORTON, Anthony. Students’ understanding of differentiation. Educational Studies in Mathematics, n. 14, p. 235-250, 1983. DOI: 10.1007/BF00410540.
PINO-FAN, Luis R.; GODINO, Juan D.; FONT, Vicenç. Faceta epistémica del conocimiento didáctico-matemático sobre la derivada. Educação Matemática Pesquisa, v. 13, n. 1, p. 141-178, 2013.
PULIDO, Ricardo. Un estudio teórico de la articulación del sable matemático en el discurso escolar: la transposición didáctica del diferencial en la física y la matemática escolar. 1997. (Tesis doctoral). Cinvestav, México.
PULIDO, Ricardo. La enseñanza de los diferenciales en las escuelas de ingeniería desde un enfoque socioepistemológico. Relime: Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, v. 13, n. 4, p. 85-97, 2010.
ROBINSON, Abraham. Non-standard analysis. Los Ángeles, USA: North-Holland Publishing Company Amsterdam, 1966.
TALL, David. Comments on the difficulty and validity of various approaches to the calculus. For the Learning of mathematics, v. 2, n. 2, p. 16-21, 1981a.
TALL, David. Intuitions of infinity. Mathematics in School, v. 10, n. 3, p. 30-33, 1981b.
TAYLOR, A. The differential: nineteenth and twentieth century developments. Archive for History of Exact Sciences, v. 12, n. 4, p. 355-383, 1974.
VALDIVÉ, Carmen; GARBIN, Sabrina. Estudio de los esquemas conceptuales epistemológicos asociados a la evolución histórica de la noción de infinitesimal. Relime: Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, v. 11, n. 3, p. 413-450, 2008.
VERÓN, Manuel Alejandro. Análisis ontosemiótico de los significados del concepto de diferencial. 2020. (Tesis de maestría). Universidad de Granada, España. DOI: 10.13140/RG.2.2.17929.16489.
WILHELMI, Miguel R.; GODINO, Juan D.; LACASTA, Eduardo. Configuraciones epistémicas asociadas a la noción de igualdad de números reales. Recherches en Didactique des Mathematiques, v. 27, n. 1, p. 77-120, 2007.
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